|
Dividiert man Zahlen miteinander, kann es vorkommen, dass das Ergebnis nicht aus ganzen Zahlen besteht. Diese Zahlen enthalten einen Bruch - einen Teil der kleiner als 1 ist und nach dem Komma geschrieben wird. Nimmt man zum Beipiel die Aufgabe 13 / 4 = 3,25 enthält mit dem Teil ,25 so einen Bruch. Die 0,25 als Divisionsaufgabe geschrieben, ist: 1/4. Diese Divisionsaufgabe "1/4" ist gleichzeitig auch ein "Bruch". Für diese Zahlen, Brüche, hat man in der Mathematik den Ausdruck rationale Zahlen Q definiert. Brüche enthalten immer einen Zähler, die Zahl die geteilt wird, und einen Nenner, die Zahl durch die geteilt wird, wobei der Zähler oberhalb und der Nenner unterhalb des Bruchstriches steht. Das sieht dann so aus: Zähler --------- Nenner Wie oben schon geschrieben geht es um eine Division, nur dass der Divident jetzt Zähler heißt und der Divisor heißt nun Nenner. Das Divisionszeichen ist dann der Bruchstrich. Als Bruch würde man z.B. die Aufgabe (2 * 5) / (10 * 4) so schreiben: 2 * 5 -------- 10 * 4 Der Vorteil der Bruchrechnung ist, dass man innerhalb einer Aufgabe, nach Möglichkeiten zur Vereinfachung des Bruchs suchen kann. Man den Bruch "kürzen". Zurück zu der Beispielaufgabe: 2 * 5 -------- 10 * 4 Im Zähler wird mit 2 multipliziert und im Nenner mit 4. man kann in der Bruchrechnung diese beiden Faktoren durch 2 teilen. Dann bliebe im Bruch: 2 * 5 [2/2] ------- 10 * 4 [4/2] 1 * 5 = ------- 10 * 2 Die beiden anderen Faktoren sind 10 und 5. Was fällt auf? Genau 10 ist 2 * 5. Also teile ich noch diese Faktoren durch 5. 1 * 5 [5/5] = ------- 10 * 2 [10/5] 1 * 1 = ------- 2 * 2 Mehr zu kürzen gibt es dann nicht mehr, denn 1 * 1 ist 1 und 2 * 2 ist 4. Es bleibt: 1 -- 4 Dasselbe funktioniert auch umgekehrt. Ich kann einen Bruch beliebig erweitern. Dazu multipliziere ich Zähler und Nenner mit derselben Zahl. 1 [1 * 2] -- 4 [4 * 2] 2 = -- 8 Ein Bruch gibt also immer das Verhältnis von Zähler zu Nenner an. Man nutzt die Erweiterungen dazu, um Brüche zu addieren. Brüche kann man nur addieren, wenn beide Brüche denselben Nenner haben. Grundsätzlich gilt: Zähler Zähler Zähler + Zähler ------- + ------- = ----------------- Nenner Nenner Nenner Als Beispiel: 1 4 5 -- + -- = -- 7 7 7 Haben die Brüche nicht denselben Nenner, kann man sie so erweitern, dass sie denselben Nenner bekommen. 1 2 [2 * 5] -- + -- 15 3 [3 * 5] 1 10 = -- + -- 15 15 11 = -- 15 Auf diese Art und Weise kann man Brüche auch subtrahieren: Zähler Zähler Zähler - Zähler -------- - -------- = ----------------- Nenner Nenner Nenner Als Beispiel: 1 3 [1 * 5] -- - -- 3 15 [3 * 5] 5 3 = -- - -- 15 15 2 = -- 15 Fazit: Zum addieren und subtrahieren von Brüchen such man einen gemeinsamen Nenner. Wer sich nicht sicher ist, welchen Nenner beide Brüche gemeinsam haben, kann ich einfach Nenner * Nenner rechnen und danach das Ergebnis kürzen. _________________________________________________ Natürlich können Brüche nicht nur addiert und subtrahiert werden, man kann sie genauso multiplizieren und dividieren. Das Multiplizieren von Brüchen ist eine einfache Sache, man nimmt einfach den Zähler des ersten Bruches, mal dem Zähler des zweiten Bruches und danach den Nenner des ersten Bruches, mal dem Nenner des zweiten Bruches. Das Ergebnis wird gekürzt. Zähler * Zähler ------ ------ Nenner * Nenner Das Dividieren eines Bruches ist ähnlich einfach. Zum dividieren nimmt man den ersten Bruch mal dem Kehrwert des zweiten Bruches. Der Kehrwert eines Bruches entsteht, indem man Zähler und Nenner vertauscht. Zähler Zähler Zähler * Nenner ------ : ------ = ------ ------ Nenner Nenner Nenner * Zähler Das Ergebnis wird wieder gekürzt. Beispiele: 9 6 9 * 6 3 * 3 9 -- * -- = ----- = ----- = -- 4 3 4 * 3 2 * 1 2 9 6 9 * 3 3 * 3 9 -- : -- = ----- = ----- = -- 4 3 4 * 6 4 * 2 8 Wenn man einen Bruch mit einer ganzen Zahl multipliziert, wird nur der Zähler mit diesem Wert mal genommen. Das liegt daran, dass eine ganze Zahl, als Bruch geschrieben, eine 1 im Nenner hat. Umgekehrt kann man natürlich auch wieder einen Bruch in eine ganze Zahl umwandeln. Wenn Zähler und Nenner gleich sind ist das Ergebnis 1. 2 4 2 8 2 4 * -- = -- * -- = -- = 2 -- 3 1 3 3 3 __________________
__________________ Alle Angaben ohne Gewähr!
|
|
